Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Nilalaman

  • Ano ang simpleng Sinusuportahang-Beam?
  • Ito ay Libreng diagram ng Katawan.
  • Mga kondisyon sa hangganan at nauugnay na Formula.
  • Bending moment para sa Concentrated Loading.
  • Bending moment para sa pantay na namamahagi ng Paglo-load.
  • Ito ay Deflection at Deflection equation na may halimbawa.
  • Ito ay Deflection bilang f (x) para sa ipinamamahaging Paglo-load [Triangular Loading].
  • Iba't ibang iba't ibang Pag-load na nakaka-induce ng Bending Stress.

Ano ang Sinusuportahang Simpleng Beam?

Sinusuportahan lamang ang Kahulugan ng Beam

Ang isang simpleng suportadong sinag ay isang sinag, na may isang dulo na karaniwang hinged, at ang iba pang mga dulo ay pagkakaroon ng suporta ng roller. Kaya't dahil sa hinged na suporta, ang paghihigpit ng pag-aalis sa (x, y) ay magiging at dahil sa suporta ng roller ay maiiwasan ang end-displaced sa direksyon ng y at malayang ilipat ang parallel sa axis ng Beam.

Sinusuportahan lamang ang libreng diagram ng katawan ng Beam.

Ang diagram ng libreng katawan para sa Beam ay ibinibigay sa ibaba kung saan may point load na kumikilos sa isang distansya na 'p' mula sa kaliwang dulo ng Beam.

Libreng Body diagram ng simpleng suportadong sinag
Libreng Body Diagram para sa SSB

Sinusuportahan lamang ang mga kundisyon ng hangganan ng Beam at Formula

Sinusuri ang mga puwersang reaksyon na kumikilos sa Beam sa pamamagitan ng paggamit ng mga kundisyon ng Equilibrium 

\ kabuuan F_x = 0, \; \ kabuuan F_y = 0, \; \ kabuuan M_A = 0

Para sa patayong Equilibrium,

\ sum F_y = 0 -------> R_A + R_B-W = 0

R_A + R_B = W

Wp-R_BL = 0

Pagkuha ng Sandali tungkol sa A ay katumbas ng 0 na may karaniwang mga notasyon.

\\ R_B = \ frac {Wp} {L}

Mula sa itaas na equation,

R_A + \ frac {Wp} {L} = W

R_A = \ frac {Wq} {L}

Hayaan ang XX na ang intersection sa 'isang' distansya ng x mula sa end point na tinukoy ng A.

Isinasaalang-alang ang karaniwang pamantayan ng Pag-sign, maaari nating kalkulahin ang puwersa ng Shear sa puntong A tulad ng inilarawan sa pigura.

Puwersa ng paggugupit sa A,

V_A = R_A = \ frac {Wq} {L}

Puwersa ng paggugupit sa rehiyon XX ay

V_x = R_A-W

V_x = \ frac {Wq} {L} -W

V_x = \ frac {W (qL)} {L}

V_x = \ frac {-Wp} {L}

Shear Force at B ay 

V_B = \ frac {-Wp} {L}

Pinatutunayan nito na ang Shear Force ay nananatiling pare-pareho sa pagitan ng mga punto ng aplikasyon ng Point Load.

Ang paglalapat ng mga karaniwang panuntunan ng Bending Moment, Clockwise Bending Moment mula sa Kaliwa na dulo ng Beam ay kinuha bilang + ve at Counter Clockwise Bending moment ay isinasaalang-alang bilang -ve.

  • BM sa puntong A = 0.
  • BM sa puntong C = -RA p ………………………… [dahil ang sandali ay counter-clockwise, ang Bending Moment ay lalabas na negatibo]
  • Ang BM sa puntong C ay ang mga sumusunod

B.M_C = \ frac {-Wpq} {L} ......................... Maximum \; baluktot \; sandali

  • BM sa puntong B = 0.
Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya
Puwersa ng paggugupit at diagram ng baluktot na sandali

Sinuportahan lamang ang sandali ng Baluktot na Beam para sa pantay na ipinamamahagi sa Paglo-load bilang isang pagpapaandar ng x.

Ibinigay sa ibaba ay isang sinusuportahang simpleng sinag na may pantay na ipinamamahagi sa Paglo-load na inilapat sa buong kumpletong span,

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya
SSB kasama ang UDL

Ang Rehiyon XX ay maging anumang rehiyon sa distansya x mula sa A.

Ang resulta na katumbas na pagkarga na kumikilos sa Beam Dahil sa kaso ng Uniporme na Pag-load ay maaaring idagdag sa pamamagitan ng

F = L * f

F = fL

Katumbas na Load ng Point fL kumikilos sa mid-span. ibig sabihin, sa L / 2

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Sinusuri ang mga puwersang reaksyon na kumikilos sa Beam sa pamamagitan ng paggamit ng mga kundisyon ng Equilibrium 

\ kabuuan F_x = 0, \; \ kabuuan F_y = 0, \; \ kabuuan M_A = 0

Para sa patayong Equilibrium,

\ sum F_y = 0 \\ R_A + R_B = fL

pagkuha ng karaniwang mga kombensyon sa pag-sign, maaari kaming magsulat

\\ fL * \ frac {L} {2} -R_BL = 0 \\\\ R_B = \ frac {fL} {2}

Mula sa itaas na equation,

R_A + \ frac {fL} {2} = fL \\ R_A = \ frac {fL} {2}

Kasunod sa karaniwang kombensyon sa Pag-sign, ang paggugupit sa A ay magiging.

V_A = R_A = \ frac {fL} {2}

Shear Force sa C

V_C = R_A- \ frac {fL} {2}

V_C = \ frac {fL} {2} - \ frac {fL} {2} = 0

Puwersa ng paggugupit sa rehiyon XX ay

V_x = R_A-fx \\\\ V_x = \ frac {fL} {2} -fx \\\\ V_x = \ frac {f [L-2x]} {2}

Shear Force sa B

V_B = \ frac {-fL} {2}

Para sa Bending Moment Diagram, mahahanap natin iyon sa pamamagitan ng pagkuha ng karaniwang notasyon.

  • BM sa puntong A = 0.
  • Ang BM sa puntong X ay

B.M_x = M_A - \ frac {fx ^ 2} {2} = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

  • BM sa puntong B = 0.

Kaya, ang sandali ng baluktot ay maaaring maisulat tulad ng sumusunod

B.M_x = [- \ frac {fx ^ 2} {2}]

Kaso I: Para sa simpleng sinusuportahan na Beam na may isang puro load F na kumikilos sa gitna ng Beam

Nasa ibaba ang isang libreng diagram ng katawan para sa isang simpleng suportadong bakal na sinag na nagdadala ng isang puro load (F) = 90 kN na kumikilos sa Point C. Ngayon makalkula ang slope sa puntong A at maximum na pagpapalihis. kung ako = 922 centimer4, E = 210 GigaPascal, L = 10 meter.

Mga Solusyon:

Ang ibinigay na halimbawa ng FBD ay ibinibigay sa ibaba,

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya
Libreng Body Diagram para sa SSB na may concentrated point load

Ang slope sa dulo ng Beam ay,

\ frac {dy} {dx} = \ frac {FL ^ 2} {16EI}

\\\frac{dy}{dx}=\frac{90*10^3*10^2}{16*210*10^9*922*10^{-8}} \\\\\frac{dy}{dx}=0.29

Para sa isang simpleng sinusuportahang steel beam na nagdadala ng isang puro load sa gitna, Maximum Deflection ay,

y_ {max} = \ frac {FL ^ 3} {48EI}

y_{max}=\frac{90*10^3*10^3}{48*210*10^9*922*10^{-8} }

y_ {max} = 1.01 \; m

Kaso II: Para sa Sinuportahang simpleng Beam na may pagkarga sa 'isang' distansya mula sa suporta A.

Para sa kasong ito kumikilos load (F) = 90 kN sa Point C. Pagkatapos ay i-compute ang slope sa puntong A at B at ang maximum na pagpapalihis, kung ako = 922 cm4, E = 210 GigaPascal, L = 10 meter, a = 7 meter, b = 3 meter.

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Kaya

Ang slope sa dulo ay sumusuporta sa A ng Beam,

\ theta_1 = \ frac {Fb (L ^ 2-b ^ 2)} {6LEI}

\theta_1=\frac{90*10^3*3*(10^2-3^2)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_1 = 0.211 \; radian

Ang slope sa dulo ay sumusuporta sa B ng Beam,

\ theta_2 = \ frac {Fab (2L-b)} {6LEI}

\theta_2=\frac{90*10^3*3*7*(10*^2-3)}{6*10*210*10^9*922*10^{-8}}

\ theta_2 = 0.276 \; rad

Nagbibigay ang equation ng maximum na Deflection,

y_{max}=\frac{Fb(3L^2-4b^2)}{48EI }

y_{max}=\frac{90*10^3*3*(3*10^2-4*3^2)}{48*210*10^9*922*10^{-8}}

y_ {max} = 0.766 \; m

Talahanayan ng slope at pagpapalihis para sa karaniwang mga kaso ng pag-load:

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Ang slope at Deflection sa simpleng sinusuportahang Beam na may pantay na ipinamamahagi sa Paglo-load kaso

Hayaan ang timbang W1 kumikilos sa isang distansya a mula sa End A at w2 kumikilos sa isang distansya b mula sa dulo A.

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Ang Baluktot na Sandali Ang equation para sa nabanggit na Beam ay maaaring ibigay ng

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{wx^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b))

Ang UDL na inilapat sa kumpletong Beam ay hindi nangangailangan ng anumang espesyal na paggamot na nauugnay sa mga braket ng Macaulay o mga termino ni Macaulay. Tandaan na ang mga tuntunin ng Macaulay ay isinama na may paggalang sa kanilang sarili. Para sa kaso sa itaas (xa), kung lumalabas na negatibo, dapat itong balewalain. Ang pagpapalit ng mga kundisyon sa pagtatapos ay magbubunga ng mga halaga ng pare-pareho ng pagsasama-sama ayon sa pagkakaugnay at samakatuwid ang kinakailangang mga slope at halaga ng pagpapalihis.

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Sa kasong ito, nagsisimula ang UDL sa puntong B, ang equation ng baluktot na sandali ay binago, at ang pare-parehong naibahagi na term ng pag-load ay nagiging mga term ng Bracket ng Macaulay.

Ang equation ng Bending Moment para sa kaso sa itaas ay ibinibigay sa ibaba.

EI\frac{d^2y}{dx^2}=R_Ax-\frac{w(x-a)^2}{2}-W_1(x-a)-W_2(x-b)

Nakakasama tayo,

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^2}{2}-\frac{w(x-a)^3}{6}-W_1\frac{(x-a)^2}{2}-W_2\frac{(x-b)^2}{2}+A

EI\frac{dy}{dx}=R_A\frac{x^3}{6}-\frac{w(x-a)^4}{24}-W_1\frac{(x-a)^3}{2}-W_2\frac{(x-b)^3}{6}+Ax+B

Sinusuportahan lamang ang pagpapalihis ng sinag bilang isang pag-andar ng x para sa ipinamamahaging Paglo-load [Triangular Loading]

Ibinigay sa ibaba ay ang Sinuportahang simpleng Beam ng span L na napapailalim sa Triangular Loading at nagmula sa equation ng slope at Bending moment na gumagamit ng Double-integrated methodology ay ang mga sumusunod.

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Para sa simetriko na Nilo-load, ang bawat reaksyon ng suporta ay nagdadala ng kalahati ng kabuuang karga at ang reaksyon sa suporta ay wL / 4 at isinasaalang-alang ang sandali sa puntong nasa distansya x mula sa Suporta A ay kinakalkula bilang.

M=\frac{wL}{4}x-\frac{wx^2}{L}\frac{x}{3}=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3)

Gamit ang diffn-pagkakasunod ng curve.

\frac{d^2y}{dx^2}=M=\frac{w}{12L}(3L^2x-4x^3).

sa pamamagitan ng dobleng Pagsasama maaari naming makita bilang.

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)+C_1.................[1].

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})+C_1x+C_2.................[2].

paglalagay ng x = 0, y = 0 sa equation [2],

C_2 = 0

Para sa simetriko na Paglo-load, ang slope sa 0.5L ay zero

 Kaya, slope = 0 sa x = L / 2,

0=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2*L^2}{2}-L^4)+C_1

C_1 = \ frac {-5wL ^ 3} {192}

Ang pagpapalit ng mga nagpapatuloy na halaga ng C2 at C1 makukuha natin,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^3}{2}-\frac{x^5}{5})-\frac{5wL^3}{192}x

Ang pinakamataas na pagpapalihis ay matatagpuan sa gitna ng sinag. ibig sabihin, sa L / 2.

EIy=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2L^3}{2*8}-\frac{L^5}{5*32})-\frac{5wL^3}{192}\frac{L}{2}

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

Sinusuri ang slope sa L = 7 m at pagpapalihis mula sa ibinigay na data: Ako = 922 cm4 , E = 220 GPa, L = 10 m, w = 15 Nm

Mula sa mga equation sa itaas: sa x = 7 m,

EI\frac{dy}{dx}=\frac{w}{12L}(\frac{3L^2x^2}{2}-x^4)-\frac{5wL^3}{192}

220*10^9*922*10^{-8}*\frac{dy}{dx}=\frac{15}{12*10}(\frac{3*10^2*7^2}{2}-7^4)-\frac{5*15*10^3}{192}

\ frac {dy} {dx} = 1.124 * 10 ^ {- 4} \; mga radian

gamit ang equation [4]

EIy_ {max} = - \ frac {wL ^ 4} {120}

220*10^9*922*10^{-8}*y_{max}=\frac{15*10^4}{120}

y_ {max} = - 6.16 * 10 ^ {- 4} \; m

Ang negatibong pag-sign ay kumakatawan sa pababang pagpapalihis.

Sinuportahan lamang ang Beam na Isinailalim sa iba't ibang Nag-uudyok na Pag-uudyok sa Pag-baluktot ng Stress.

Ibinigay sa ibaba ay isang halimbawa ng isang simpleng suportadong bakal na sinag na nagdadala ng isang point load at ang Mga Suporta sa sinag na ito ay suportado ng pin sa isang dulo, at isa pa ay suporta sa roller. Ang Beam na ito ay may sumusunod na ibinigay na materyal, at naglo-load ng data

ang paglo-load na ipinapakita sa Larawan sa ibaba ay may F = 80 kN. L = 10 m, E = 210 GPa, I = 972 cm4, d = 80 mm

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideya

Sinusuri ang mga puwersang reaksyon na kumikilos sa Beam sa pamamagitan ng paggamit ng mga kundisyon ng Equilibrium 

\ kabuuan F_x = 0, \; \ kabuuan F_y = 0, \; \ kabuuan M_A = 0

Para sa patayong Equilibrium,

\ sum F_y = 0 \\ R_A + R_B-80000 = 0 \\ R_A + R_B = 80000

Pagkuha ng Sandali tungkol sa A, Clock wisdom Moment + ve, at anticlockwise moment ay kinuha bilang -ve, maaari naming kalkulahin bilang.

80000 * 4-R_B * 10 = 0

R_B = 32000 \; N

Paglalagay ng halaga ng RB sa equation [1].

R_A + 32000 = 80000

R_A = 48000 \; N

Hayaan, XX ang seksyon ng kawili-wili sa distansya ng x mula sa endpoint A, kaya ang puwersa ng Shear sa A ay magiging.

V_A = R_A = 48000 \; N

Puwersa ng paggugupit sa rehiyon XX ay

V_x = R_A-F

V_x = \ frac {Fb} {L} -F

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {F (bL)} {L}

V_x = \ frac {-Fa} {L} = \ frac {-80000 * 4} {10} = - 32000 \; N

Shear Force at B ay 

V_B = \ frac {-Fa} {L} = - 32000 \; N

Pinatutunayan nito na ang Shear Force ay nananatiling pare-pareho sa pagitan ng mga punto ng aplikasyon ng Point Load.

Ang paglalapat ng karaniwang mga panuntunan ng Bending Moment, ang Clockwise Bending Moment mula sa Kaliwa na dulo ng Beam ay kinuha bilang positibo. Ang sandali ng Counter Clockwise Bending ay kinuha bilang Negatibo.

  • Bending Moment sa A = 0
  • Bending Moment sa C = -RA isang ………………………… [dahil ang sandali ay counter-clockwise, ang Bending Moment ay lalabas na negatibo]
  • Bending Moment at C ay

B.M_{max}=-80000*4*\frac{6}{10}=-192000\;Nm

  • Bending Moment sa B = 0

Ang Equation ni Euler-Bernoulli para sa Bending Moment ay ibinigay ng

\ frac {M} {I} = \ frac {\ sigma} {y} = \ frac {E} {R}

M = Inilapat ang BM sa crosssection ng Beam.

Ako = ika-2 na lugar na sandali ng Inertia.

σ = Bending Stress-sapilitan.

y = normal na distansya sa pagitan ng neutral axis ng Beam at ng nais na elemento.

E = Modulus ni Young sa MPa

R = Radius ng Curvature sa mm

Kaya, ang baluktot na Stress sa Beam

\ sigma_b = \ frac {M_ {max} y} {I}

\sigma_b=\frac{-192000*80/2*10^{-3}}{972*10^{-8}}

\ sigma_b = -790.12 \; MPa

Upang malaman ang tungkol sa Deflection ng sinag at Cantilever beam iba pang artikulo mag-click sa ibaba.

Tungkol kay Hakimuddin Bawangaonwala

Sinusuportahan na Lang ang Beam | Kumpletong Pangkalahatang-ideyaAko si Hakimuddin Bawangaonwala, Isang Mekanikal na Disenyong Disenyo na may Dalubhasa sa Disenyo at Pag-unlad ng Mekanikal. Nakumpleto ko ang M. Tech sa Design Engineering at may 2.5 taong Karanasan sa Pananaliksik. Hanggang ngayon nai-publish ang Dalawang papel sa pagsasaliksik sa Hard Turning at Finite Element Analysis ng Heat Fixtures ng Paggamot. Ang Aking Lugar ng Interes ay Disenyo ng Makina, Lakas ng Materyal, Paglipat ng Heat, Thermal Engineering atbp Mahuhusay sa CATIA at ANSYS Software para sa CAD at CAE. Bukod sa Pananaliksik.
Kumonekta sa LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/hakimuddin-bawangaonwala

Mag-iwan ng komento

Ang iyong email address ay hindi ilalathala. Ang mga kailangang field ay may markang *

en English
X