Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar

PANIMULA

Ano ang matematika? Pagkalkula ba? Ito ba ay lohika? Simbolo ba ito? Mga larawan? Mga graphic? Lumalabas, ang lahat ng ito ay marami pang iba. ITO AY PERO WIKA. Ang unibersal na wika, na mayroong mga simbolo, tauhan, ekspresyon, bokabularyo, balarila, lahat ng bagay na gumagawa ng isang wika, lahat ay ganap na makatuwiran, natatangi at hindi sigurado sa kanilang kahulugan. Ito ang wika kung saan nakasulat ang mga batas ng sansinukob. Samakatuwid ito ang wikang dapat nating malaman at tuklasin upang malutas ang mga misteryo ng kalikasan. Dapat nating simulan ang aming talakayan sa isa sa pinakamaganda at pangunahing mga paksa sa matematika, TEORYANG FUNCTION, sa pilosopiyang ito.

ANO ANG EXPRESSIONS, EQUATIONS AND, IDENTITIES?

Tulad ng lahat ng mga mahusay na natukoy na wika, ang matematika ay may sariling hanay ng mga simbolo at character, bilang at alpabetikong. Ang isang expression sa matematika ay isang kumbinasyon ng mga naturang simbolo at character. Ang lahat ng ito ay ipapaliwanag dito teorya ng pag-andar talakayan.

5 + 2 / (9-3)

7a + 2b-3c

2\cos{\frac{1}{2}\left(\alpha+\beta\right)}\cos{\frac{1}{2}\left(\alpha-\beta\right)}

Ang lahat ng ito ay mga expression sa matematika. Hindi mahalaga kung maaari silang masuri o hindi, kung sila ay makabuluhan at kung susundin nila ang wastong syntax, sila ay mga expression.

Ngayon, kapag inihambing namin ang dalawang expression sa isang tanda na '=', mayroon kaming isang bagay tulad ng…


(1 + x) ^ {2}= 1 + 2x +x ^ {2}

Alin ang isang expression para sa pagkakapantay-pantay ng dalawang mga expression na nakasulat sa magkabilang panig ng isang = sign. Tandaan, na ang pagkakapantay-pantay na ito ay totoo para sa lahat ng mga halagang x. Ang mga ganitong uri ng pagkakapantay-pantay ay tinatawag na IDENTITIES.


(1 + x) ^ {2}= 2 + 3x + 2x ^ {2} …… …… .. (1)

O tulad ng


(1 + x) ^ {2}= 7-3x + 2x ^ {2} ……. …… (2)

Pagkatapos ay hindi sila magiging totoo para sa lahat ng mga halaga ng x, sa halip magiging totoo sila para sa ilang mga halagang x tulad ng (2) o magiging totoo sila para sa WALANG mga halagang x, tulad ng (1). Ang mga ito ay tinatawag na EQUATIONS.

Kaya upang buod, ang mga pagkakapantay-pantay na mayroon para sa lahat ng mga halaga ng mga variable, ay IDENTITIES. At ang mga pagkakapantay-pantay na humahawak para sa ilan o walang halaga ng mga variable ay EQUATIONS.

BAKIT KAILANGAN NATIN ANG KONSEPTO NG FUNCTION?

Hindi ba kamangha-mangha na ang uniberso ay perpektong balanse? Ang isang sistema ng napakalaking sukat na gawa sa napakaraming mas maliit na mga system, bawat isa ay mayroong maraming mga variable na nakikipag-ugnay sa bawat isa, ngunit napakahusay na kumilos. Hindi ba't ang lahat ay pinamamahalaan ng isang hanay ng mga patakaran, hindi nakikita ngunit mayroon kahit saan? Kunin ang halimbawa ng puwersang gravitational. Ito ay baligtad na proporsyonal sa distansya sa pagitan ng mga katawan, at ang patakarang ito ay sinusundan ng lahat ng mga bagay, saanman sa sansinukob. Kaya, dapat mayroon kaming paraan upang maipahayag ang mga nasabing panuntunan, tulad ng mga koneksyon sa pagitan ng mga variable.

Napapaligiran tayo ng mga nasabing variable na nakasalalay sa iba pang mga variable. Ang haba ng anino ng isang gusali ay nakasalalay sa taas at sa oras ng araw. Ang distansya na nilakbay ng kotse ay nakasalalay sa metalikang kuwintas na nabuo ng makina nito. Ito ang konsepto ng teorya ng pagpapaandar na nagbibigay-daan sa amin upang ipahayag ang naturang mga relasyon sa matematika.

KAYA ANO ANG FUNCTION SA MATH?

Patakaran sa Pag-andar o FUNCTION bilang isang panuntunan

Upang ilagay ito nang simple, ang isang pagpapaandar ay isang panuntunan na nagbubuklod sa dalawa o higit pang mga variable. Kung pinapayagan ang mga variable na kumuha lamang ng mga totoong halaga pagkatapos ito ay simpleng ekspresyon na tumutukoy sa isang patakaran o isang hanay ng mga patakaran na nagtatalaga ng isang tunay na numero sa bawat isa sa ilang mga totoong numero.

Ngayon ang kahulugan na ito ay tiyak na nangangailangan ng ilang paglilinaw na ibinibigay sa pamamagitan ng mga halimbawa tulad ng

1. Ang panuntunang nagtatalaga sa kubo ng bilang na iyon sa bawat numero.

f (x)=x ^ {3}

2. Ang panuntunang nagtatalaga (x ^ {2}-x-1) /x ^ {3} Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar sa bawat x

                   f (x)Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar = Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar(x ^ {2}-x-1) /x ^ {3}

3. Ang panuntunang nagtatalaga (x ^ {2}Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar-x-1) / (x ^ {2}+ x + 1) sa lahat ng x na hindi katumbas ng 1 at ang bilang na 0 hanggang 1

                                        f (x)= (x ^ {2}-x-1) / (x ^ {2}+ x + 1) para sa x ≠ 1

                                                     = 0 para sa x = 1

  • f (x) =x ^ {2} Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar para sa -1 <x <π / 3
  • Ang panuntunang nagtatalaga

  2 hanggang numero 5

  3 hanggang sa bilang 8/3

  π / 2 hanggang sa bilang 1

  at Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar sa iba pa

  • Ang panuntunang nagtatalaga sa isang bilang x, ang bilang ng mga 1 sa decimal na paglawak nito kung ang bilang ay may hangganan at 0 kung maraming walang hanggan sa pagpapalawak.

Ang mga halimbawang ito ay dapat na gawing malinaw ang isang bagay na ang isang pagpapaandar ay anumang panuntunan na nagtatalaga ng mga numero sa tiyak na iba pang mga numero. Ang mga patakarang ito ay maaaring hindi palaging maipahiwatig ng pagbubuo ng algebraic. Maaaring hindi man tumuturo ang mga ito sa isang natatanging kundisyon na nalalapat sa lahat ng mga numero. At hindi ito kailangang maging isang panuntunan na mahahanap ng isang tao sa pagsasanay o sa totoong mundo, tulad ng nasa panuntunan 6. Walang sinuman ang makakapagsabi kung aling numero ang itinatakda ng panuntunang ito sa numero π oIsang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar. Ang patakaran ay maaari ding hindi mailapat sa ilang mga numero. Halimbawa, ang panuntunang 2 ay hindi nalalapat sa x = 0. Ang hanay ng mga numero kung saan nalalapat ang panuntunan ay tinatawag na DOMAIN ng pagpapaandar.

KAYA ANO ANG KAHULUGAN ng y = f (x)?

Tandaan, na ginagamit namin ang expression na y = f (x) upang magsulat ng isang pagpapaandar. Kailan man tayo magsisimula ng isang expression sa Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar pagkatapos ay nangangahulugan kami na malapit na naming tukuyin ang isang pagpapaandar na nauugnay sa isang hanay ng mga numero na may isang hanay ng mga halaga ng variable x.

FUNCTION bilang isang ugnayan

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andarKaya, sa madaling salita, at marahil sa isang mas pangkalahatang kahulugan, ang isang pagpapaandar ay isang ugnayan sa pagitan ng dalawang hanay A at B, kung saan ang lahat ng mga elemento sa hanay na A ay may isang elemento na nakatalaga sa kanila mula sa hanay na B. Ang mga elemento mula sa hanay B ay tinawag na Mga larawan at ang mga elemento ng set A ay tinawag na PRE-IMAGES.

Ang proseso ng pag-uugnay ng mga elemento ay tinawag Pagma-map. Siyempre maaaring maraming mga paraan kung saan maaaring magawa ang mga pagmamapa na ito, ngunit hindi namin tatawagan silang lahat bilang mga pagpapaandar. Ang mga pagmamapa lamang na nauugnay ang mga elemento sa isang paraan na ang bawat elemento sa set A ay may eksaktong isang imahe sa set B, na tatawaging mga function. Minsan isinusulat ito bilang f: A–> B. Basahin ito dahil ang 'f ay isang pagpapaandar mula A hanggang B'.

Ang itinakdang A ay tinawag na DOMAIN ng pagpapaandar at ang set B ay tinawag na CO-DOMAIN ng pagpapaandar. Kung ang f ay tulad ng imahe ng isang elemento a ng set A ay ang elemento b mula sa set B, pagkatapos ay nagsusulat kami ng f (a) = b, basahin bilang 'f ng a ay katumbas ng b', o 'b ang halaga ng f at a ', o' b ay ang imahe ng isang sa ilalim ng f '.

URI NG MGA FUNCTIONS

Ang mga pagpapaandar ay maaaring maiuri ayon sa paraan ng pag-uugnay nila sa dalawang hanay.

Isa - isa o pagpapaandar ng injection

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar
teorya ng pag-andar: Isa sa Isa o pagpapaandar ng pag-inject

Sinasabi ng pigura ang lahat. Ito ay kapag ang isang pag-andar ay nauugnay sa bawat elemento ng isang set sa isang natatanging elemento ng isa pang hanay, ito ay isa sa isa o pagpapaandar ng injective.

Maraming - isang pagpapaandar

teorya ng pag-andar
teorya ng pag-andar: Marami sa Isang pagpapaandar

Muli, ang pigura ay lubos na nagpapaliwanag. Malinaw na mayroong higit sa isang paunang imahen sa isang partikular na imahe. Samakatuwid ang pagmamapa ay marami sa isa. Tandaan, na hindi nito nilalabag ang kahulugan ng isang pagpapaandar dahil walang elemento mula sa set A na may higit sa isang imahe sa set B.

ONTO function o SURJECTIVE function

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar
Teoryang Pag-andar: ONTO function o SURJECTIVE function

Kapag ang lahat ng mga elemento ng set B ay may hindi bababa sa isang paunang imahe, pagkatapos ang function ay tinatawag na Onto o surjective. Sa pagmamapa ay maaaring isa sa isa o marami sa isa. Ang ipinakita sa itaas ay maliwanag na marami sa isa papunta sa pagmamapa. Tandaan na ang larawang ginamit dati para sa paglalarawan ng isa sa isang pagmamapa ay papunta rin sa pagmamapa. Ang ganitong uri ng isa hanggang sa pagmamapa ay kilala rin bilang BIJECTIVE pagmamapa.

Sa pagpapaandar

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar
Teoryang Pag-andar: SA Pag-andar

Kapag mayroong hindi bababa sa isang imahe nang walang anumang pre-image, ito ay isang INTO function. Sa pag-andar ay maaaring isa sa isa o marami sa isa. Ang itinatanghal sa itaas ay malinaw naman isa hanggang isa sa.

GRAPH NG ISANG FUNCTION

Tulad ng sinabi nang mas maaga na ang isang pagpapaandar ay nagtatalaga ng mga totoong numero sa ilang mga totoong numero, posible at maginhawa upang balangkasin ang pares ng mga numero sa XY Cartesian na eroplano. Ang bakas na nakuha sa pamamagitan ng pagkonekta ng mga puntos, ay ang graph ng pagpapaandar.

Isaalang-alang natin ang isang pagpapaandarIsang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar. Pagkatapos, maaari nating suriin ang f (x) sa x = 1,2,3 upang makakuha ng tatlong pares ng x at f (x) bilang (1,4), (3,6) at (5,8). Ang paglalagay ng mga puntong ito at pagkonekta sa kanila ay ipinapakita na ang pagpapaandar ay sumusubaybay ng isang tuwid na linya sa xy na eroplano. Ang linyang ito ang grapiko ng pagpapaandar.

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar
Teoryang Pag-andar: Grap ng isang pagpapaandar_1

Malinaw, ang likas na katangian ng bakas ay magkakaiba ayon sa ekspresyon para sa pagpapaandar. Sa gayon nakakakuha kami ng isang saklaw ng mga graph para sa iba't ibang uri ng mga expression. Ilan ang binibigay.

Ang mga grap ng Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar , Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar at Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar mula kaliwa hanggang kanan

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar
Teoryang Pag-andar: Grap ng isang pagpapaandar_2

Sa puntong ito, makikita ng isa na ang ekspresyon para sa isang pagpapaandar ay talagang katulad ng isang equation. At ito ay totoo, halimbawa Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar sa katunayan ay isang equation pati na rin ang isang kahulugan ng pag-andar. Dinadala nito sa atin ang tanong, lahat ba ng mga equation function? Kung hindi pagkatapos

Paano masasabi kung ang isang equation ay isang pagpapaandar?

Ang lahat ng mga equation na nakalarawan sa mga graph nang mas maaga ay talagang mga pag-andar, tulad ng para sa lahat ng mga iyon, mayroong eksaktong isang halaga ng f (x) o y para sa ilang halaga ng x. Nangangahulugan ito na ang expression para sa f (x) ay dapat magbunga lamang ng isang halaga kapag sinuri para sa anumang halaga ng x. Ito ay totoo para sa anumang linear equation. Ngunit kung isasaalang-alang natin ang equationIsang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar, nalaman namin na palaging may dalawang solusyon para sa lahat x sa loob ng 0 hanggang 1, sa madaling salita, ang dalawang mga imahe ay nakatalaga sa bawat halaga ng x sa loob ng saklaw nito. Lumalabag ito sa kahulugan ng isang pagpapaandar at kung gayon ay hindi matatawag na isang pagpapaandar.

Ito ay dapat magmukhang mas malinaw mula sa grap na mayroong eksaktong dalawang mga imahe ng bawat x bilang isang patayong linya na iginuhit sa anumang punto sa x axis ay magbawas sa grap sa eksaktong dalawang puntos.

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar
Teoryang Pag-andar: Grap ng isang pagpapaandar_3

Kaya, dinadala tayo nito sa isang mahalagang konklusyon na hindi lahat ng mga equation ay pagpapaandar. At kung ang isang equation ay isang pagpapaandar, maaaring mapatunayan ng pagsubok ng patayong linya, na kung saan ay simpleng pag-iisip ng isang variable na patayong linya sa bawat punto sa x axis at nakikita kung natutugunan nito ang grap sa isang solong punto.

Sinasagot din nito ang isa pang mahalagang tanong, na kung saan, kung paano sasabihin kung ang isang pagpapaandar ay isa sa isa? Tiyak na sapat, ang sagot na iyon ay nasa grap din at maaaring mapatunayan ng patayong linya na pagsubok.

Ngayon, maaaring magtanong ang isang tao kung may isang paraan upang sabihin ang pareho nang hindi nakuha ang grap o kung masasabi ito sa algebraically dahil hindi palaging madaling gumuhit ng mga graph ng mga pagpapaandar. Sa gayon ang sagot ay oo, magagawa lamang ito sa pamamagitan ng pagsubok ng f (a) = f (b) kung Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andarnagpapahiwatig ng isang = bIsang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar. Ito ay upang sabihin na kahit na ang f (x) ay tumatagal ng parehong halaga para sa dalawang halaga ng x, kung gayon ang dalawang halaga ng x ay hindi maaaring magkakaiba. Kumuha tayo ng isang halimbawa ng pagpapaandar

y = (x-1) / (x-2)

Tulad ng mapapansin ng isang tao na mahirap planuhin ang graph ng pagpapaandar na ito dahil likas na hindi guhit at hindi umaangkop sa paglalarawan ng anumang pamilyar na kurba at saka hindi tinukoy sa x = 2 Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar. Kaya, ang problemang ito ay tiyak na tumatawag para sa isang iba't ibang mga diskarte mula sa patayong linya na pagsubok.

Kaya, nagsisimula tayo sa pagpapaalam 

f (a) = f (b)

=> (a-1) / (a-2) = (b-1) / (b-2)

=> (a-1) (b-2) = (b-1) (a-2)

=> ab-2a-b + 2 = ab-2b-a + 2

=> 2a + b = 2b + a

=> 2 (ab) = (ab)             Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar

Posible lamang ito para sa Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar ab = 0 o a = b

Kaya, ang pagpapaandar ay talagang isa sa isa, at napatunayan namin ito nang walang graphing.

Ngayon, nais naming makita kung kailan nabigo ang ilang pagpapaandar sa pagsubok na ito. Maaaring gusto naming subukan ang equation ng bilog na aming sinubukan dati. Nagsisimula kami sa pamamagitan ng pagsusulat

f (a) = f (b)

=> \ [\ sqrt {1-a ^ {2}} = \ sqrt {1-b ^ {2}]

=>a ^ {2}=b ^ {2}

a2 =b2

=> a = b o a = -b

Na nangangahulugang mayroong mga solusyon maliban sa a = b, kaya't ang f (x) ay hindi isang pagpapaandar.

MAHIRAP BA MAG PLOT Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar? y = (x-1) / (x-2)?

Tatalakayin namin ang graphing ng isang pagpapaandar nang mas detalyado sa mga paparating na artikulo ngunit narito kinakailangan upang maging pamilyar sa mga pangunahing kaalaman sa pag-grap dahil nakakatulong ito sa paglutas ng problema. Ang isang visual na interpretasyon ng isang problema sa calculus ay madalas na ginagawang napakadali ng problema at alam kung paano i-graph ang isang function ay ang susi sa isang mahusay na visual na interpretasyon.

Kaya, upang mailagay ang grap ng (x-1) / (x-2)Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar, nagsisimula tayo sa pamamagitan ng paggawa ng ilang mga kritikal na obserbasyon tulad ng

1. Ang pagpapaandar ay nagiging 0 sa Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andarx = 1.

2. Ang pagpapaandar ay nagiging hindi natukoy sa x = 2 Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar.

3. Ang pagpapaandar ay positibo saanman maliban sa 1

Dahil sa agwat na ito (x-1) ay positibo at (x-2) ay negatibo, ginagawang negatibo ang kanilang ratio.

4. Sa pagpunta ng x sa -∞ ang pagpapaandar ay papalapit sa pagkakaisa mula sa ibabang bahagi, nangangahulugang malapit ito sa 1 ngunit palaging mas mababa sa 1.

Dahil para sa x <0, (x-1) / (x-2) = (| x | +1) / (| x | +2) <1 bilang | x | +2> | x | +1

5. Sa pagpunta ng x sa + ∞ ang pagpapaandar ay papalapit sa pagkakaisa mula sa itaas na bahagi, nangangahulugang malapit ito sa 1 ngunit palaging mas malaki sa 1.

6. Tulad ng pagpunta ng x sa 2 mula sa kaliwang bahagi, ang pagpapaandar ay papunta sa -∞.

7. Tulad ng pagpunta ng x sa 2 mula sa kanang bahagi, ang pagpapaandar ay papunta sa + ∞.

8. Ang pagpapaandar ay palaging bumababa para sa x> 2.

KATUNAYAN:

Kinukuha namin ang dalawang malapit na halaga ng x bilang (a, b) tulad ng (a, b)> 2 at b> a

ngayon, f (b) - f (a)

= (b-1) / (b-2) - (a-1) / (a-2)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

= (ab) / {(a-2) (b-2)}

<0 bilang (ab) <0 para sa b> a

at (a-2) (b-2)> 0 bilang (a, b)> 2

Nagpapahiwatig ito ng f (b) Ang 2, sa madaling salita f (x) ay mahigpit na bumababa para sa x> 2

  • 9. Ang pagpapaandar ay palaging bumababa para sa x <2
  • PATUNAYAN: katulad ng dati. Iniwan namin ito para subukan mo.

Ang pagsasama-sama sa mga obserbasyong ito ay ginagawang madali ang graphing. Pinagsasama ang 4,9 at 6 maaari nating sabihin na habang ang x ay mula sa -∞ hanggang 2, ang bakas ay nagsisimula mula sa pagkakaisa at unti-unting nahuhulog upang hawakan ang 0 sa x = 1 at mahuhulog pa hanggang -∞ sa x = 2. Muli na pinagsasama ang 7,5 at 8 madali itong makita na sa paglipas ng x hanggang 2 hanggang + ∞, ang pagsubaybay ay nagsisimulang bumagsak mula sa + ∞ at patuloy na malapit sa pagkakaisa na hindi talaga hinahawakan.

Ginagawa nitong hitsura ang kumpletong grap

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andar
Teoryang Pag-andar: Grap ng isang pagpapaandar_4

Ngayon ay naging maliwanag na ang pagpapaandar ay talagang isa sa isa.

Konklusyon

Sa ngayon tinalakay namin ang mga pangunahing kaalaman sa teorya ng pag-andar. Dapat ay malinaw na tayo sa mga kahulugan at uri ng pag-andar. Nagkaroon din kami ng isang maliit na ideya ng graphic na interpretasyon ng mga pagpapaandar. Susunod na artikulo ay sasaklaw ng mas maraming detalye sa mga konsepto tulad ng saklaw at domain, kabaligtaran na mga pag-andar, iba't ibang mga pag-andar at kanilang mga grap, at maraming mga nagawang mga problema. Upang mas mapunta sa pag-aaral, hinihimok kang basahin

Calculus ni Michael Spivak.

Algebra ni Michael Artin.

Para sa karagdagang artikulo sa matematika, mangyaring pindutin dito.

Tungkol kay Sourav Bhattacharyya

Isang Kumpletong Gabay sa Teoryang Pag-andarAko si Sourav Bhattacharyya, Isang Telecom Engineer sa pamamagitan ng propesyon at matematika na hangarin sa libangan. Nakumpleto ko ang aking Engineering mula sa Jadavpur University.
Ginugugol ko ang karamihan sa aking oras sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga problema sa matematika at lubos akong naniniwala na ang parehong kaalaman at karanasan na ibabahagi ko sa pamamagitan ng kahanga-hangang platform na Lambdageeks. Sinusubukan kong kumatawan sa isang paraan na ang mga mag-aaral ay maiibig sa matematika.
Isang karangalan sa akin na maging bahagi ng nasabing isang samahan kung saan ko masusunog ang mga ito na nais matuto ng Matematika.

Mag-iwan ng komento

Ang iyong email address ay hindi ilalathala. Ang mga kailangang field ay may markang *

en English
X